Gianni M.
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Quella che segue è la soluzione al rompicapo “Le noci di cocco”, che potete trovare qui:
a) La risposta è 15
noci. Infatti se alla fine resta una noce (quella che viene data
alla scimmia) vuol dire che il terzo marinaio si è trovato
davanti ad un mucchio di 3 noci, dal quale ne ha prese 2, ovvero
metà del mucchio (cioè una noce e mezza) più
mezza noce, lasciandone 1. Analogamente il secondo marinaio avrà
avuto a disposizione 7 noci prendendone 4 (3 e mezzo + 1 mezza noce)
e lasciandone appunto 3 per il terzo marinaio. Infine, il primo marinaio
poteva disporre di un totale di 15 noci, e ne ha prese 8.
b) La risposta è 3121
noci. In realtà in questo caso la risposta non è
unica, ma chiaramente una volta nota una soluzione le altre potranno
essere ottenute semplicemente sommando o sottraendo una costante
che in questo caso vale 56 = 15625. In questo caso 3121
rappresenta il numero minimo di noci di cocco. Per ricavare questo
valore è sufficiente risolvere il seguente sistema.
Y = 5 x A + 1
4 x A = 5 x B + 1
4 x B = 5 x C + 1
4 x C = 5 x D + 1
4 x D = 5 x E + 1
4 x E = 5 x F
in cui Y è il numero totale
di noci all’inizio, F è il numero di noci che ciascun uomo
riceve al termine della spartizione, A B C D E sono il numero di
noci prese da ciascun marinaio durante la notte ed infine il +1 indica
la noce che viene ogni volta data alla scimmia. Da notare che tutti
questi valori devono essere interi.
Facendo delle semplici sostituzioni di variabili si ottiene:
1024 x Y = 15625 x F + 8404
A questo punto bisogna risolvere
questa equazione tenendo presente che i risultati devono essere interi.
Si può anche procedere per tentativi, ma ci sono dei metodi
matematici precisi che permettono la risoluzione. Ad esempio ci si
può ricondurre ad un problema di programmazione lineare intera
(si veda un qualunque libro di ricerca operativa), in cui la precedente
equazione rappresenta un vincolo e la funzione obiettivo da minimizzare
è semplicemente Y, cioè il numero di noci. Così
procedendo si ottiene la soluzione preannunciata 3121.
Per una trattazione più
approfondita vi consiglio di consulatare il libro “Enigmi e
giochi matematici” di Martin Gardner in cui c’è un intero
capitolo dedicato a questo enigma.
c) Nel caso generale la soluzione
è data da:
Per N dispari:
(1 + N x K) x NN – (N – 1)
Per N pari:
(N – 1 + N x K) x NN – (N – 1)
con K intero.
